فضای چهار بعدی

جهان یک بعدی عبارت از یک خط است که از حرکت نقطه به وجود می‌آید (تعداد زیادی نقطه در کنار هم). ما در بحث‌های بَعدی به چنین جهانی «خط‌آباد» می‌گوییم. مثالی از یک جسم یک بعدی، پاره خطی به طول a است. جهان دو بعدی، از کنار هم قرار دادن تعداد زیادی خط در جهت بعد دوم (و نه در امتداد یکدیگر) به وجود می‌آید. این جهان را جهان «تخت‌آباد» می‌نامیم و مثالی از یک جسم دو بعدی، مربعی به مسا حت a2 می‌باشد.

جهان سه بعدی نیز، از کنار هم قرار دادن صفحات بی‌شماری در جهت بعد سوم تشکیل می‌شود و مکعبی به حجم a3 مثالی از یک جسم سه بعدی است.
با تعمیم مطالب فوق، جهان چهار بعدی نیز از حرکت یک مکعب سه بعدی در جهت بعد چهارم بوجود می‌آید و مثالی از یک جسم چهار بعدی، اَبَر مکعبی به اَبَر حجم a4 است.
بحث بر روی کره‌های چند بعدی نیز تا حدودی جالب است.
کره یک بعدی، مکان هندسی کلیه نقاط در یک خط است که فاصله‌شان از یک نقطه (مرکز کره)، به یک فاصله باشد. این کره که چیزی بجز دو نقطه نیست، دارای معادله R2 = x2 می‌باشد و حجم چنین کره‌ای در واقع طول 2R است.
کره دو بعدی، مکان هندسی کلیه نقاط در یک صفحه است که فاصله‌شان از یک نقطه (مرکز کره)، به یک فاصله باشد. این کره با معادله R2 = y2 + x2 مشخص می‌شود که در واقع دایره‌ای است به شعاعR و حجم R2 .
به همین ترتیب کره سه بعدی، مکان هندسی کلیه نقاط در فضاست که فاصله‌شان از یک نقطه (مرکز کره)، به یک فاصله باشد و با معادله R2 = z2 + y2 + x2 مشخص می‌شود و دارای حجم R3 است.
با تعمیم مطالب فوق اَبَر کره چهار بعدی با معادله R2 = t2 + z2 + y2 + x2 مشخص می‌گردد و می‌توان ثابت کرد که دارای اَبَر حجم R4 2 می‌باشد.
اکنون بررسی می‌کنیم که موجودات سه بعدی چگونه می‌توانند یک جسم چهار بعدی را مشاهده کنند؟
از دنیای «خط آباد» شروع می‌کنیم. اگر یک دایره (موجود دو بعدی) از دنیای خط آباد عبور کند، موجودات یک بعدی در هر لحظه فقط یک وتر دایره را مشاهده خواهند کرد. آنها می‌بینند که ابتدا یک نقطه ظاهر شد، سپس این نقطه تبدیل به یک پاره خط گردید و این پاره خط کم کم بزرگ شد تا به اندازه بزرگترین طول خود (یعنی قطر دایره) رسید و سپس رفته رفته کوچک و در نهایت تبدیل به یک نقطه و نهایتاً محو گردید.
شبیه همین رویداد برای موجودات دو بعدی جهان «تخت آباد» و گذر یک کره سه بعدی از آن جهان اتفاق می‌افتد.
آنها مشاهده می‌کنند که ابتدا کره به شکل یک نقطه پدیدار می‌شود، سپس تبدیل به دایره می‌گردد و شعاع دایره شروع به بزرگ شدن می‌کند تا اینکه به بزرگترین اندازه خود می‌رسد. (به طوری که قطر آن با قطر کره برابر می‌شود.) پس از آن کوچک و در نهایت تبدیل به یک نقطه شده و محو می‌گردد.
با تعمیم مطالب بالا، چنانچه یک موجود چهار بعدی (مثلاً یک ابر کره) از جهان سه بعدی ما عبور کند، ابتدا به صورت یک نقطه ظاهر شده و سپس تبدیل به کره‌ای کوچک می‌شود که رفته رفته شروع به بزرگ شدن می‌کند و هنگامی که به بزرگترین مقدار خود رسید (یعنی شعاع آن برابر با شعاع ابر کره شد)، کم کم کوچک شده و در نهایت تبدیل به یک نقطه و سپس محو می‌گردد.
پس توجه کنید برای این که یک موجود چهار بعدی بخواهد وارد اتاق شما شود لازم نیست از درب یا دیوار عبور کند بلکه کافیست به طور ناگهانی در وسط اتاق ظاهر گردد.

چند نتیجه از حرکت در بعد چهارم
همواره برای درک بهتر از بعد چهارم بایستی با مثال‌هایی در بعدهای کمتر شروع کنیم. در بیان نتایج زیر، سعی شده مسأله با مثال‌هایی از دنیای «تخت‌آباد» و حرکت یک موجود در جهت بعد سوم روشن‌تر شود.
1 ـ خروج از زندان، بدون گذشتن از درب یا دیوار
زندان دو بعدی چیزی به جز یک شکل بسته مانند یک مستطیل نیست. ولی اگر یک موجود دو بعدی بتواند در جهت بعد سوم حرکت کند. به راحتی بدون گذشتن از درب یا دیوار زندان، مانند شکل می‌تواند از زندان خارج شود.
زندان دو بعدی
حرکت در بعد سوم
به همین ترتیب وی می‌تواند از یک گاو صندوق، بدون شکستن قفل و یا باز کردن درب آن، پول بردارد!
تونل
حرکت در بعد سوم
کوه دو بعدی
2 ـ عبور ا ز کوه بدون رفتن به قله آن و یا تونل زدن3 ـ نزدیک کردن راهها در فضای منحنی
فرض کنید یک جهان دو بعدی به صورت سطح یک کره باشد. (یعنی خمیده باشد) برای رفتن از نقطه A به نقطه B در روی سطح بایستی راه طولانی طی شود. و لیکن اگر موجودی بتواند در بعد سوم حرکت کند، می‌تواند از میان کره به طرف دیگر
آن برود و راه را کوتاه نماید.
چگونه می‌توان وجود بعد چهارم را در جهان اثبات یا رد کرد؟
یک جهان دو بعدی «تخت آباد» بایستی یا بی‌نهایت باشد و یا دارای مرزهای پایانی. و لیکن اگر همان جهان دو بعدی، در واقع سطح یک کره سه بعدی باشد، علیرغم نداشتن هیچ گونه حد و مرزی، در عین حال بی‌نهایت نیز نیست.
در چنین جهانی، یک موجود دو بعدی، در عین حال که روی یک خط مستقیم (به زعم خودش) حرکت می‌کند، پس از طی مسافتی، دوباره به محل اولیه‌اش بر می‌گردد. او در ضمن این حرکت، به چپ و راست منحرف نمی‌شود ولی در واقع در جهت بعد سوم خم می‌گردد.
این موجود چگونه می‌تواند بدون دور زدن کامل، پی ببرد که جهانش تخت است یا خمیده؟
جواب این است که او به وسیله کاربرد اصول هندسه و ریاضیات می‌تواند به این موضوع پی ببرد. در یک سطح تخت اصول هندسی اقلیدسی بر قرارند و لیکن در یک سطح خمیده اصول دیگری حاکم می‌شوند. بیان اصول هندسه اقلیدسی در حوصله این مقاله نیست و علاقمندان می‌توانند به مراجع مربوطه مراجعه نمایند. در اینجا فقط به این نکته اکتفا می‌شود که اگر یک موجود دو بعدی بر روی سطح یک کره زندگی کند، فاصله بین دو نقطه به مختصات (x , y ) و (x + dx , y + dy) به جای عبارت است از:
که در آن k شعاع کره است.
به همین ترتیب چنانچه فضای سه بعدی ما، ابر سطح یک ابر کره چهار بعدی به شعاع k باشد، در این صورت فاصله بین دو نقطه به مختصات (x, y, z)
و (x + dx , y + dy, z + dz) به جای عبارت است از:
بنابراین می‌توان حتی بدون مسافرت به دور جهان! به این مسأله پی برد که آیا جهان سه بعدی ما تخت است یا خمیده؟
ابزارهای دیگری نیز برای پی بردن به تخت یا خمیده بودن فضا وجود دارد. همانطور که می‌دانید مجموع زوایای یک مثلث در فضای تخت (هندسه اقلیدسی) برابر 180 درجه است. و لیکن به عنوان مثال در یک کره، مثلثی که از 3 دایره عظیم تشکیل شده (مثلاً خط استوا و دو نصف النهار) دارای مجموع زوایایی بیش از 180 درجه است. و یا در یک سطح تخت، دو خط موازی، همواره موازی می‌مانند و هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند و لیکن در یک کره، د ونصف النهار که به خط استوا عمودند، در ابتدا با یکدیگر موازیند ولی کم کم بهم نزدیک می‌شوند و نهایتاً در قطب به یکدیگر می‌رسند.
با عنایت به مطالب فوق و بسیاری مشاهدات دیگر اکنون ثابت شده است که جهان ما خمیده است و ضمن این که بی‌نهایت نیست ولی در عین حال دارای مرزهای مشخص نیز نمی‌باشد.
به عبارت دیگر، جهان ما سطح یک کره چهار بعدی است و هر حرکتی، علی‌رغم این که ظاهراً مستقیم الخط به نظر برسد و به طرف چپ و راست یا بالا و پایین خم نشود، و لیکن در واقع یک مسیر خمیده است که در جهت بعد چهارم خم شده و در نهایت بر روی نقطه شروع بر می‌گردد.
همانطور که در یک جهان سه بعدی، ممکن است تعداد زیادی سطوح دو بعدی کروی شناور باشند (دنیاهای متفاوت دو بعدی کروی با شعاع‌های متفاوت). این امکان وجود دارد که تعداد زیادی جهان سه بعدی کروی، در فضای چهار بعدی شناور باشند.
با تعمیم این مسأله، می‌توان گفت که فضای چهار بعدیی که جهان سه بعدی خمیده ما در آن شناور است، خود در واقع خمیده است و سطح یک کره پنج بعدی است که در فضای پنج بعدی شناور است. به همین ترتیب فضای پنج بعدی در واقع سطح یک کره شش بعدی است که در فضای شش بعدی شناور است و…