آموزش ریاضی

مرا حل حل مساله از دیدگاه پولیا

 

پولیا به چهار مرحله در حل مساله اشاره می کند :

1- درک مساله : فرد عناصریک مساله را که شامل نقطه شروع عملیات و مقاصد می باشد ، درک می نماید ، وی اطلاعاتی را درباره ی مساله جمع آوری کرده و از خود می پرسد که مجهولات چیست ؟ اطلاعات داده شده و شرایط چه هستند ؟

2- طرح نقشه : فرد به برنامه ریزی زنجیره ای از عملیات برای حرکت از وضعیت اولیه به مقصد می پردازد . وی سعی می کند تجربه ی گذشته را به کار برد تا راه حلی پیدا نماید ، او از خود می پرسد : آیا یک مساله مرتبط با این را می شناسم ؟ آیا می توانم معلومات را به روش جدیدی بیان کنم که بر اساس تجربه ام باشد، در این جا بینش به وقوع می پیوندد .

3- عمل به طرح : فرد طرح راه حل را امتحان می کند و هر مرحله را چک می کند .

4- به عقب برگشتن : فرد سعی می کند به روش دیگری یا با وارسی نحوه تنظیم بودن آن ها نتیجه را چک نماید ، وی از خود می پرسد : آیا می توانم این نتایج و یا روش را برای مسائل دیگر بکار برم ؟ از نظر پولیا ممکن است این مرحله چندین بار تکرار گردد تا راه حل مشخص شود .

درادامه پولیا دستورالعمل های زیر را برای حل مساله ارائه می دهد :

1-آشنا شدن : از صورت مساله آغاز می کنیم  تا آن جا که می توانید مساله را به عنوان یک کل و به شکلی روشن در نظر خود مجسم سازید در این هنگام در بند جزئیات نباشید در نتیجه مساله را می فهمید و با آن آشنا می شوید و اثر آن را در ذهن خود باقی می گذارید توجه ودقت در مساله هم چنین حافظه شما را به کار می اندازد و آن را آماده می سازد تا نکات مربوط به مساله را به یاد شما بیاورد .

2 – تلاش برای فهمیدن مساله :  از صورت مساله آغاز کنید .هنگامی آغاز کن که این صورت مساله در نظرت چندان روشن است و بر ذهنیت چندان اثر گذاشته است که می توانی مدت کوتاهی نگریستن به آن را ترک کنی بی آن که ترس گم کردن واز یاد بردن آن را داشته با شی . بخش های اساسی مساله خود را از هم جدا کن "فرض و نتیجه " قسمت های اساسی یک مساله ثابت کردنی است ، مجهول ، داده ها و شرط قسمت های اساسی یک مساله یافتنی است به قسمت های اساسی مساله بپرداز و آن ها را در ترکیبات مختلف در نظر بگیر و هر بخش جزئی را با بخش های جزئی دیگر و به تمام مساله ارتباط بده .

3- شکار اندیشه های سودمند : مساله خود را از جوانب گوناگون ملاحظه کن و در صدد یافتن نقاط تماسی از آن با شناخت و معرفت حاصل شده پیش از آن باش ، بکوشید تا در این باره بیندیشید که در موارد مشابه گذشته چه چیز به شما کمک کرده است بکوشید تا در آن چه در معرض امتحان و آزمایش قرار داده اید مطلب آشنایی پیدا کنید و از چیزی که می دانید اشاره ای سودمند بدست آورید  .    

سوال : با دوباره پرداختن به کار چه چیز بهره مند خواهد شد ؟                                

ممکن است بخت یار شما شود و به اندیشه ای دیگر دسترسی پیدا کنید ،شاید به اندیشه ای دسترسی پیدا کنید و همین اندیشه بعدی یک راست شما را به حل مساله راهنمایی کند .

4- اجرای نقشه : در لحظه ای که اندیشه مایه خوشبختی که شما را به حل مساله رهنمون شدکه ارتباط اصلی را دریافته اید و یقین دارید که برای افزودن جزئیاتی که مورد نیاز است توانایی دارید نقشه خود راعملی کنید حال دریافت خود را محکم کنید همه عملیات جبری یا هندسی را که پیشتر فراگرفته اید و دخالت آنها را در حل مساله ممکن می دانید وارد کار کنید از طریق استدلال یا بینش شهودی یا ترکیبی از هر دو اعتقاد به صحت هر گام را که برای حل مساله بر می دارید برای خود تامین کنید . اگر مساله بسیار پیچیده است باید میان گام های بزرگ و گام های کوچک تفاوت قائل شوید که هرگام بزرگ خود از چند گام کوچک تر ترکیب شده است . نخست به امتحان صحت گام های بزرگ بپردازید و پس از آن به گام های کوچک تر توجه کنید .

5-به عقب نگریستن : در لحظه ای که مساله بطور کامل و صحیح حل شد حالا باید به حل مساله از جهات گوناگون نگاه کنید و در صد د ارتباط هایی با دانش و شناخت پیشین خود بر آیید . جزئیات حل مساله را مورد ملاحظه قرار دهید و بکوشید تا آنها را به اندازه کافی و امکان ساده کنید ، بخش های پر دامنه حل را کوتاه کنید ، سعی کنید تا تمام راه حل را به یک نظر ببینید و بکوشید تا به سود بخش های کوچک یا بزرگ راه حل آنها را تغییر دهید و آن را روی هم رفته بهتر کنید و به صورت شهودی در آورید . نکته ای را که در روش حل مساله موجود است کشف کنید و از آن در حل مسائل دیگر مدد بگیرید . فواید به عقب نگریستن این است که  ممکن است راه حل تازه و بهتری به دست آورید احتمال دارد به واقعیت های تازه و جالب توجه دست یابید . در هر حالت اگر به بررسی وتحقیق عادت کنید و راه حل خود را مورد دقت کافی قرار دهید مقداری شناخت و آراسته و آماده به کار بردن نصیب شما می شود و قدرت حل مساله در شما رشد پیدا می کند . 

6) اهمیت مساله وابسته به مساله داده شده : آیا از مساله وابسته آگاهی دارید ؟ به ندرت می توان مساله ای را تخیل نمود که مطلقا نو باشد و با مسائلی که پیشتر حل کرده ایم شباهت و مناسبتی در آن دیده نشود ولی اگر مساله ای بتواند موجود باشد غیر قابل حل خواهد بود . در واقع وقتی به حل مساله ای می پردازیم همیشه از مسائل حل شده پیش تر بهره گیری می کنیم و نتیجه یا روش حل یا مهارت و تجربه ای را که از حل آنها به دست آمده استفاده می کنیم . برای این منظور به مجهول نگاه کنید یا به مساله حل شده پیشتر که از لحاظ تعمیم یا تخصیص یا تمثیل با مساله حاضر ارتباط داشته باشد توجه نماییم .

7) استفاده از همه داده ها : آیا از همه داده ها استفاده کرده ایم ؟ در نتیجه بسیج شدن تدریجی همه شناخت و دانش ما ، دریافتی که از مساله داریم در پایان حل آن بسیار پیش از آغاز آن خواهد بود در هنگامی که به فکر استفاده از داده استفاده نشده در حل راه مان هستیم متوجه می شویم که راه حل با استفاده از تمام داده هاست که به تکامل نزدیک می شود . پرسش از خود درباره استفاده از تمام داده ها ، نه تنها در ساختن یک برهان بلکه وارسی وامتحان صحت آن سودمند است مثلا فرض کنید مقصود وارسی ، راه اثبات قضیه ای است که فرض آن مشمول بر سه جزء است و هر سه برای حقیقت داشتن قضیه جنبه اساسی دارند . بدین معنی که اگر در اثبات قضیه از هر یک از سه جزء فرض غفلت شود اثبات نادرست است . این شکل از امتحان و وارسی موثر و آموزنده و برای فهم کامل برهان در صورتی که طولانی و سنگین باشد یعنی فهم بدان صورت که خواننده باهوش بدان می رسد ، تقریبا ضروری است . البته چنین فرض می شود که مسائل ریاضی عرضه شده در کتاب های سنتی صورت بیانی کامل دارند و مستدل و معقولند . ولی نباید به تحقیق یافتن این فرض چندان اعتماد کنیم ؛ در آن هنگام که کمترین شک وجود داشته باشد باید بپرسیم ، آیا تامین شرط ممکن است ؟ در ضمن کوشش برای پاسخ گفتن به این سوال ممکن است لااقل تا حدی متقاعد شویم که مساله چنان که فرض شده خوب است .

توصیه های پولیا درباره ی حل مسائل غیر ریاضی

بعضی از مسائل غیر ریاضی هست که امکان دارد از جهتی " به صورت کامل بیان شده " باشد . ولی مسائل عملی معمولا دور از آن است که به صورت کامل وتمام بیان شده باشد و محتاج در نظر گرفتن پرسش هایی از قبیل زیر است :                                                                                                           

 1- آیا پیشتر آنها را دیده اید ؟

 2- آیا تامین شرط ممکن است ؟ آیا شرط برای یافتن مجهول کفایت می کند یا نه ؟ یا زاید و تنا قض آمیز است ؟ طرح این پرسش ها در مرحله آغازی حل مساله و در آن هنگام که خواستار جوابی تمام نیستند و تنها به پاسخی موقتی یا حدس نیاز دارند سودمند است . پرسش" آیا مساله ما معقول است ؟ " در مرحله آغازی کار سودمند است به شرط آن که بتوانیم به آسانی پاسخ آن را بدهیم . اگر یافتن پاسخ این پرسش دشوار باشد زحمتی که برای به دست آوردن متحمل می شویم بیش از سودی خواهد بود که از آن عاید ما می شود . همین مطلب در مورد تامین شرط ممکن است . آن ها را از آن جهت باید طرح کنیم که یافتن پاسخ ممکن وآسان و روشن باشد ولی هنگامی که جواب دشوار یا تاریک به نظر می رسد نباید برروی آن ها توقف و پا فشاری کنیم .  

نظر او درباره ی مسائل ثابت کردنی به شرح زیر است : 

در مسائل ثابت کردنی پرسش های متناظر عبارتند از : 

1- آیا احتمال آن هست که قضیه پیشنهادی درست باشد ؟ 

2- احتمال بیشتر نادرست بودن آن هست ؟ 

3 - آیا می توان از داده ها چیزی سودمند به دست آورد ؟  

همواره در مسائل ثابت کردنی آغاز نمودن استدلال از مجهول برتری و فضیلت دارد با وجود این آغاز کردن از داده ها نیز فرصت کامیابی را دارد و غالبا باید آزمایش شود .

در آینده مثال هایی در ارتباط با چگونگی انجام مراحل حل مساله خواهم آورد.

سعید حسینی

سرگروه ریاضی لبنان سوریه اردن