نمونه سوال حل شده از استقرای ریاضی تعمیم یافته

نشان دهید عدد طبیعی مناسبی مانند m وجود دارد که برای هر عدد طبیعی n بزرگتر یا مساوی m داریـم: 

پاسخ: با قرار دادن مقادیر طبیعی برای m متوجه می شویم که m مناسب 3 است چرا که برای اولین بار حکم برای m=3 درست است. حال نشان میدهیم حکم برای هر عدد طبیعی  برقرار است. 

1-  

2- اکنون در این مرحله فرض (فرض استقرا) می کنیم نامساوی فوق برای هر عدد طبیعی  درست باشد یعنی: 

 

3- نشان میدهیم حکم داده شده برای (n=k+1 ،(k>2 درست است، یعنی: 

 (حکم استقرا) 

برای این منظور از فرض استقرا استفاده کرده و به طرفین فرض عدد 2 را اضافه می کنیم، داریم: 

 

حال با مقایسه نامساوی اخیر و حکم استقرا کافی است نشان دهیم: 

 
برای این کار از اثبات بازگشتی کمک میگیریم: 

مشاهده می شود نامساوی  برای K>2 همواره درست است و چون تمامی روابط برگشت پذیرند، لذا  برقرار بوده و به این ترتیب حکم برای هر عدد طبیعی  برقرار است.

آغاز سال تحصیلی 92 - 93

با حمدو ثنای الهی ، آغاز سال تحصیلی جدید 92 - 93 و بازگشایی مدارس جمهوری اسلامی ایران در لبنان (بیروت) را به همه دانش آموزان و همکاران گرامی علی الخصوص دبیران گروه ریاضی و کامپیوتر تبریک عرض می نماییم . 

محمدرضا حکیمیان

سرگروه آموزشی ریاضی و کامپیوتر